1. 投影与距离
点 $x_0$ 到集合 $C$ 的距离定义为集合内所有点到该点距离的下确界：
$\text{dist}(x_0, C) = \inf\{\|x_0 - x\| \mid x \in C\}$
实现该最小距离的具体优化器即为投影算子：
$P_C(x_0) = \text{argmin}\{\|x - x_0\| \mid x \in C\}$
对于由 $a^T x = b$ 定义的简单超平面，投影具有优美的闭式解：$P_C(x_0) = x_0 + (b - a^T x_0)a/\|a\|_2^2$。然而，对于一般集合，这仍是一个约束优化问题： 最小化 $\|x - x_0\|$，约束条件为 $f_i(x) \leq 0$ 且 $Ax = b$。
2. 函数几何
为了将几何约束视为目标函数的组成部分，我们采用两种强大的函数‘镜像’：
- 指示函数 $I_C(x)$: $I_C(x) = \begin{cases} 0 & x \in C \\ +\infty & x \notin C \end{cases}$。它将几何结构转化为数值惩罚。
- 支撑函数 $S_C(x)$: $S_C(x) = \sup_{y \in C} x^T y$。它通过每个方向上的边界超平面来刻画该集合。
一个非空、闭合的集合 $C \in \mathbf{R}^n$ 是一个 切比雪夫集 （对每个 $x_0$ 都有唯一投影）当且仅当它是 凸的。
假设 $C$ 是凸集且范数是严格凸的。如果存在两个不同的最接近点 $u, v \in C$，使得 $\|u - x_0\| = \|v - x_0\| = d$，则它们的中点 $w = (u+v)/2$ 属于 $C$（由凸性保证）。
由范数的严格凸性可得：$\|w - x_0\| = \|\frac{1}{2}(u - x_0) + \frac{1}{2}(v - x_0)\| < \frac{1}{2}\|u - x_0\| + \frac{1}{2}\|v - x_0\| = d$。
这与 $d$ 是最小距离的假设矛盾。因此，投影必须是唯一的。
注意 8.4：范数依赖性
我们通常使用以下方式构造分离超平面：$(P_C(x_0) - x_0)^T (x - (1/2)(x_0 + P_C(x_0))) = 0$。请注意！这种特定构造仅在 欧几里得范数下成立下有效。一般范数需要对正交性进行更精细的处理。